1177 В треугольнике ABC медианы AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что ΔA1B1C1= ΔА2B2С2.

1177 В треугольнике ABC медианы AA₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что ΔA₁B₁C₁= ΔА₂B₂С₂.

Решение

Так как М — точка пересечения медиан треугольника ABC, то AM=2МА₁. Отсюда, учитывая, что точка А₂ — середина отрезка AM, получаем МА₁=МА₂, т. е. точки А₁ и А₂ симметричны относительно точки М. Аналогично точки В₁ и В₂, а также точки С₁ и С₂ симметричны относительно точки М.

Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки A₁, B₁, С₁ отображаются в точки А₂, В₂, С₂, поэтому треугольник А₁В₁С₁ отображается на треугольник А₂B₂С₂, и, следовательно, ΔА₂В₂С₂=ΔA₁B₁C₁.