№ 3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Пусть А₁А₂А₃ … A_n-1,A_n — ломаная, точки A₁, A₂, … А_n не

лежат на одной прямой.

Доказать, что А₁А₂ + А₂А₃ + ... + А_n-1А_n > А₁А_n. Точки А₁, А₂, А₃ не лежат на одной прямой, по неравенству треугольника имеем:

А₁А₂ + А₂А₃ > А₁А₃. (1)

Для ломаной А₁А₃А₄ получим:

А₁А₃ + А₃А₄ > А₁А₄. (2)

Подставив (1) в (2), получим:

А₁А₂ + А₂А₃ + А₃А₄ > А₁А₄. Продолжая преобразования, дальше аналогично получим: А₁А₂ + А₂А₃ + ... + А_n-1А_n > А₁А_n, что и требовалось доказать.