№ 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.


Пусть АВСDЕА — замкнутая ломаная линия.

Расстояние между двумя вершинами, например, А и D будем считать отрезком, соединяющим концы ломаной, следовательно по теореме о длине ломаной имеем: АD≤АВ + ВС + CD и АD≤АЕ + ED, сложив два неравенства, получим:

2АD ≤ АВ + ВС + CD + DE + ЕА, АD ≤ 1/2 (АВ + ВС + CD + DE + ЕА). Что и требовалось доказать.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 9 класс к учебнику «Геометрия. 7-9 класс» А.В.Погорелов Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №4
к главе «§13. Многоугольники».

Все задачи

← № 3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
№ 5. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев. →
Комментарии