№ 22*. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч OD в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ. Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше (больше) угла АОВ

Так как прямая OD пересекает сторону АС треугольника АВС в точке О, то она пересекает либо сторону АВ, либо сторону ВС (по теореме 1.1).

Т.к. дополнительный луч к лучу OD лежит в разных полуплоскостях с отрезками АВ и ВС, точка пересечения прямой OD с одним из этих отрезков лежит на луче OD.

Если ∠AOD больше ∠AOB, то луч OD будет проходить между сторонами ∠ВОС и будет пересекать отрезов ВС; а в случае, когда угол AOD меньше угла АОВ, луч OD будет пересекать отрезок АВ.