№ 43*. Даны две окружности с радиусами R1, R2 и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел R1, R2 и d меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках.

№ 43*. Даны две окружности с радиусами R₁, R₂ и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел R₁, R₂ и d меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках.

Так как

, то можно построить треугольник со сторонами, длина которых

Обозначим этот треугольник

где

По одну сторону от прямой

расположен

Следовательно, по другую сторону от

можно отложить угол

равный углу

и угол

равный углу

Получится

по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит,

Значит, точки А и В принадлежат обеим окружностям, а так как две окружности не могут иметь более двух общих точек, то окружности пересекаются в двух и только двух построенных нами точках А и В. Что и требовалось доказать.