№ 21. Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1: 1)медианы, проведенные из вершин А и А1, равны; 2) биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны.

1)

∠С = ∠C₁, ∠А = ∠А₁, ∠В = ∠В₁

ВО = ОС = В₁О₁ = О₁С₁, т.к. АО и А₁О₁ — медианы, и ВС = В₁С₁.

В ΔАОС и ΔА₁О₁С₁: АС = А₁С₁, ОС = О₁С₁, ∠С = ∠С₁. Таким образом, ΔАОС = ΔА₁О₁С₁ по 1-му признаку, откуда АО = А₁О₁. 2)

Т.к. ΔАВС = ΔA₁B₁C₁, то: AC = А₁С₁, ∠A = ∠А₁, ∠С = ∠С₁.

∠BAK = ∠KAC = ∠B₁A₁K₁ = ∠K₁A₁C₁, т.к. AK и A₁K₁ — биссектрисы равных углов.

В ΔAKC и ΔA₁K₁C₁: АС = А₁С₁, ∠С = ∠С₁, ∠KAC = ∠K₁A₁C₁. Таким образом, ΔAKC = ΔA₁K₁C₁ по 2-му признаку равенства треугольников.

Откуда AK = A₁K₁.

Т.к. ΔАВС = ΔA₁B₁C₁, то: AC = А₁С₁, ∠A = ∠А₁, ∠С = ∠С₁.

∠BAK = ∠KAC = ∠B₁A₁K₁ = ∠K₁A₁C₁, т.к. AK и A₁K₁ — биссектрисы равных углов.

В ΔAKC и ΔA₁K₁C₁: АС = А₁С₁, ∠С = ∠С₁, ∠KAC = ∠K₁A₁C₁. Таким образом, ΔAKC = ΔA₁K₁C₁ по 2-му признаку равенства треугольников.

Откуда AK = A₁K₁.