№ 47*. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка B1 а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются.

Прямая ВВ₁ пересекает сторону АС в точке В₁, следовательно, точки А и С располагаются в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ₁. Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, следовательно, отрезок А 1С не пересекает прямую ВВ₁, и точки А ₁ и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВВ1.

Так как точки А1 и С расположены в одной полуплоскости, а точки А и С — в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ1, то точки А и А1 расположены в разных полуплоскостях, и следовательно отрезок АА1 пересекает прямую ВВ1.

Рассмотрим положение точек относительно прямой АА₁. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, а точки В₁ и С — в одной полуплоскости относительно прямой АА₁. Значит, точки В и B₁ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AA₁ и следовательно отрезок ВВ₁ пересекает прямую АА₁.

Точка пересечения прямых АА₁ и ВВ₁ лежит и на отрезке АА₁, и на отрезке ВВ₁, следовательно, эти отрезки пересекаются. Что

и требовалось доказать.