№ 22*. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. Пусть дана окружность с центром О и радиусом R и прямая а, отстоящая от центра на расстояние h < R.

№ 22*. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. Пусть дана окружность с центром О и радиусом R и прямая а, отстоящая от центра на расстояние h < R.

Так как R > h, то из точки О можно провести две и только две наклонные длиной R (см. задачу № 21 § 7). Обозначим эти наклонные

и

Так как

то точки

и

лежат на окружности с центром О и радиусом R. А значит, прямая а имеет с окружностью две общие точки. В задаче № 14* § 5 было доказано, что окружность и прямая не могут иметь более двух общих точек.

Значит, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух и только двух различных точках. Что и требовалось доказать.