508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D1B и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC?

По определению проекции прямая DD1 перпендикулярна плоскости AВС, т.е. она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

а)

D1D — направляющий вектор прямой D1D;

D1B — направляющий вектор прямой D1B. Следовательно,

б) DD1 также направляющий вектор прямой D1D, DD1 ⊥ (АВС), т.е. DD1

⊥ ВС. BC — направляющий вектор прямой ВС. Тогда, DD1BC . Т.к. D1D=-DD1, то угол φ1 между DD1 и плоскостью AВС равен: φ1=180°-φ, где φ=90° — угол между D1D и плоскостью AВС;

в) DA и BC — направляющие векторы прямых DA и ВС.

Если

то

Т.к. тетраэдр ABCD — правильный, то его вершина D проектируется в центр ΔАВС. Если провести в ΔАВС высоту AM, то высота тетраэдра DD1 пересечется с высотой ΔАВС в точке D1, тогда

1) СВ ⊥ AM, т.к. AM — высота ΔАВС;

2) СВ ⊥ DD1, DD1 ⊥ (АВС);

3) AM и DD1 ∈ (DD1A), прямые AM и DD1 пересекаются.

Из 1), 2) и 3) следует, что СВ перпендикулярна плоскости DD1C, значит, CB ⊥ DA, BC ⊥ DA.

г) DC и D1B не перпендикулярны, т.к. прямые DC и D1B не перпендикулярны. Если бы СD ⊥ D1B, то по теореме, обратной к т. о трех перпендикулярах, CD1 ⊥ D1B. Но это прямые, содержащие медианы правильного треугольника. Они не перпендикулярны.

Комментарии