18. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №18
к главе «§22. Объемы многогранников».

Все задачи >

Основание параллелепипеда — прямоугольник ABCD со сторонами АВ=а и AD=b. Его площадь S=AB⋅AD=ab. Из точки A1 проведем перпендикуляры А1О к плоскости основания, а также A1M⊥AD и А1К⊥АВ. Тогда по теореме o трех перпендикулярах OM⊥AD и ОК⊥АВ. Далее, ΔАА1М=ΔАА1К(по гипотенузе и острому углу а).

Так что

Далее,

(АО общая сторона и АК=АМ). Так что

Тогда

В ΔAA1O по теореме Пифагора получаем:

Тогда

Наверх