53. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен φ. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №53
к главе «§21.Тела вращения».

Все задачи >

В правильной пирамиде проведем высоту SO. Тогда О — центр окружности, описанной около основания. Так что ΔAOB — равно В правильной пирамиде проведем высоту SO. Тогда О — центр окружности, описанной около основания. Так что ΔAOB — равно бедренный и

Далее, проведем OH⊥BA. Тогда по теореме о трех перпендикулярах SH⊥AВ. Тогда ∠SHO=φ (линейный угол данного двугранного угла). В прямоугольном ΔOHB:

(так как ОН — высота, медиана и биссектриса).

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис,

так что О1Н— биссектриса угла φ, так что

В прямоугольном ΔOO1H:

— искомый радиус.

Наверх