54. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №54
к главе «§21.Тела вращения».

Все задачи >

Проведем высоту SO правильной пирамиды. Тогда О — центр окружности, описанной около основания. Далее,

В прямоугольном ΔASO:

(радиус описанной окружности в правильном n-угольнике.

Тогда

Далее,

Рассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку А . ∠SAD = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр SD. Так как катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, то AS2 =SD ⋅ SO (в ΔASD).

Так что

Тогда

— искомый радиус.

Наверх