№ 50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям.

Сначала построим окружность с центром О₁ и радиусом R₁ - R₂. Из центра О₂ второй окружности проводим касательную к этой окружности (задача № 49). Касательная касается этой окружности в точке K.

Продлим O₁K до пересечения с окружностью с центром О₁ и радиусом R₁. Прямая O₁K пересечет эту окружность в точке М. Теперь проводим касательную из точки М к окружности с центром О₂ и радиусом R₂. Таким образом, MN — первая касательная, т.к. MN ⊥ ОМ, O₂N ⊥ MN, следовательно, MN — общая касательная.

Затем строим окружность с центром в точке О₁ и радиусом R₁ + R₂ и проводим касательную к ней О₂Р. О₁Н = R₁ принадлежит О₁Р. Из точки Н проведем касательную HL к окружности с центром О₂ и радиусом R₂, таким образом, HL — вторая касательная, т.к. HL ⊥ O₂L и HL ⊥ О₁Н, следовательно, HL — общая касательная.

Рассмотрим всевозможные варианты:

1) Если центр одной окружности лежит внутри другой и они не пересекаются, то касательную провести нельзя.

2) Если центр одной окружности лежит внутри другой и они касаются в одной точке, то одна касательная.

3) Если они пересекаются в двух точках, то две касательные.

4) Если единственная точка пересечения лежит между их центрами, то три касательные.

5) Если R₁ + R₂ < О₁О₂, то четыре касательных.

6) Если R₁ = R₂ и О₂ совпадает с О₁, то бесконечное число касательных.