1177 В треугольнике ABC медианы AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что ΔA1B1C1= ΔА2B2С2.

1177 В треугольнике ABC медианы AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что ΔA1B1C1= ΔА2B2С2.

Решение

Так как М — точка пересечения медиан треугольника ABC, то AM=2МА1. Отсюда, учитывая, что точка А2 — середина отрезка AM, получаем МА1=МА2, т. е. точки А1 и А2 симметричны относительно точки М. Аналогично точки В1 и В2, а также точки С1 и С2 симметричны относительно точки М.

Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки A1, B1, С1 отображаются в точки А2, В2, С2, поэтому треугольник А1В1С1 отображается на треугольник А2B2С2, и, следовательно, ΔА2В2С2=ΔA1B1C1.

Комментарии