801. На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна λR. Найдите радиус его основания.

Если A1,A2,A3 — точки касания шаров с плоскостью и О — центр основания конуса, то A1A2 = A1А3 = A2А3 = 2R и О — центр окружности, описанной около треугольника A1A2A3

Следовательно,

Пусть треугольник ASB — осевое сечение конуса, OA = r — радиус его основания, ∠OAS— α, О1 — центр одного из шаров, С, — точка касания этого шара и конуса. Тогда в четырехугольнике A1AC1O1:

следовательно, ∠A1O1C1 = α, а так как

то

Из ΔAOS:

из ΔO1A1A:

Подставляя эти значения в формулу

получим после упрощений:

При λ < 2 только этот корень положителен.

При λ > 2 оба корня положительны, но больший корень r2 оказывается большим, чем

то есть радиус круга, описанного

около

находятся внутри основания конуса и касание является не внешним, а внутренним;

Комментарии