767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из

767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из него указанным способом можно было склеить тетраэдр?

Пусть ΔABC со сторонами ВС = а, АС = b, АВ = с, углами ∠A = α, ∠В = β, ∠C = γ и радиусом описанного круга R перегнут по средним линиям A1B1, A1C1, B1C1. Вершины А, В, С опишут окружности соответственно с центрами А2, В2, С2 и радиусами АА2, ВВ2, СС2 в плоскостях, перпендикулярных средним линиям. Прямая, по которой пересекаются эти плоскости, пересечет плоскость треугольника в некоторой точке О, служащей точкой пересечения его высот AA3, ВВ3, СС3. Для того, чтобы получился тетраэдр, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения A4,B4,C4 этих окружностей с этой прямой (по одну сторону от плоскости треугольника) совпали, то есть чтобы ОА4 = ОВ4 = ОС4.

следовательно,

Выражение симмет

рично относительно α, β, γ и, значит,

Оно положи

тельно лишь для остроугольного треугольника.

Комментарии