754. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом α при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды.

Через основание высоты DH построим АК⊥ВС, отрезок DK. По теореме о трех перпендикулярах DK перпендикулярно BC.

Центр вписанного шара находится на высоте пирамиды в точке О; ОН и OF — радиусы, равные r. По условию задачи

поэтому

Т.к. АК⊥ВС и DK⊥ВС, то ∠AKD — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

∠AKD=α. ОК — биссектриса ∠DKA. Из равенства (ΔOHK=ΔOFK),

Обозначим сторону основания пирамиды за а. В равностороннем треугольнике АВС — НК это радиус вписанной окружности и

Из прямоугольного треугольника ОНК:

В треугольнике DHK:

Комментарии