686. Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α; в) плоский угол при вершине равен β.

686. Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α; в) плоский угол при вершине равен β.

а) DO — высота пирамиды.

Из прямоугольного треугольника ΔADO:

Точка О — центр ΔАВС, ОА — радиус описанной около ΔАВС окружности.

По теореме синусов:

б) ΔADC — равнобедренный.

По теореме косинусов имеем:

Вычислим длину отрезка ОА, ОА=R, где R — радиус окружности, описанной около ΔАВС.

Из ΔADO:

в) ΔBDC — равнобедренный. По теореме косинусов:

В треугольнике ΔАВС: ОА — радиус описанной окружности:

Из прямоугольного ΔAOD:

Комментарии