620. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиу

620. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.

а) Вычислим длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

Диаметр сферы равен 2 • 1,5=3 (см).

Вывод: диаметр сферы равен длине гипотенузы, следовательно, центр сферы находится на середине гипотенузы, и лежит в плоскости треугольника. б) Плоскость ΔАВС пересекает сферу по окружности.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Проведем из точки О отрезок ОК ⊥ плоскости ΔАВС, отрезки КА,

КВ, КС. Равные наклонные (радиусы ОА, ОВ, ОС) имеют равные проекции на плоскость АВС, тогда,

КА=КВ=КС, точка К равноудалена от вершин ΔАВС, значит, она — центр описанной окружности. Таким образом, точка К — середина гипотенузы АС, ОК — искомое расстояние.

Из ΔАВС по теореме Пифагора

Комментарии