483. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если: а) β||α, то β1||α; б) β⊥α, то β1 совпадает с β.

483. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если: а) β||α, то β1||α; б) β⊥α, то β1 совпадает с β.

а) Выберем три точки в плоскости А, В, С, не лежащие на одной прямой. Проведем АА2⊥α, ВВ2 ⊥α, СС2 ⊥α. Продолжим эти отрезки за точки А1, B1, C1 так, что А2А1=АА2, B2B1=BB2, C2C1=CC2. AA1B1B — прямо

угольник, т.к. АА1=ВВ1 и АА1|| ВВ1. Таким образом, A1В1||АВ. ВВ1С1С — прямоугольник, т.к. BB1=CC1 и BB1|| BС. тогда, В1С1 || ВС.

Плоскость β1 проходит через точки А1, В1 и C1, она

— единственная.

Если две пересекающиеся прямые (ВА и ВС) одной плоскости (β) параллельны двум прямым (B1A1 и В1С1) другой плоскости (β1), то эти плоскости параллельны: β1 || β.

б) Пусть α⊥β. Возьмем произвольную точку А ∈ β и построим АО перпендикулярно плоскости α. Продолжим отрезок за точку О на расстояние ОА1=АО.

Две плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, тогда этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости, т.е.

АО⊂β, следовательно, и АА1 ⊂β.

Таким образом, каждая точка плоскости β отображается в точку, ей симметричную, которая тоже принадлежит плоскости β. тогда, плоскость β отображается сама на себя, или β1 совпадает с β.

Комментарии