415. Компланарны ли векторы: а) а {— 3; —3; 0}, i и j; б) b{2; 0; — 3}, i и j; в) с{1; 0; — 2}, i и k; г) d {1; — 1; 2}, е{ — 2; 0; 1} и f{5; —1; 0}; д) m {1; 0; 2}, n{1; 1; —1} и р {— 1; 2; 4}; е) q{0; 5; 3}, F {3; 3; 3} и s {1; 1; 4}?

415. Компланарны ли векторы: а) а {— 3; —3; 0}, i и j; б) b{2; 0; — 3}, i и j; в) с{1; 0; — 2}, i и k; г) d {1; — 1; 2}, е{ — 2; 0; 1} и f{5; —1; 0}; д) m {1; 0; 2}, n{1; 1; —1} и р {— 1; 2; 4}; е) q{0; 5; 3}, F {3; 3; 3} и s {1; 1; 4}?

Р е ш е н и е. г) Векторы d{ 1; — 1; 2} и e {—2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор f{5; — 1; 0} можно разложить по векторам d и e, то векторы d, е и fкомпланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и e, то векторы d, е и f не компланарны (в противном случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и e). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор f разложить по векторам d и e, т. е. существуют ли числа x и y такие, что

f=xd+ye.

Записывая это равенство в координатах, получим

Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то вектор f можно разложить по векторам d и e, а если не имеет решения, то вектор f нельзя разложить по векторам d и e. В данном случае система имеет решение: х = 1, у = — 2.

Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и e, и,

значит, векторы d, e и f компланарны.




а) Векторы

являются компланарными, т. к., записав равенство

через координаты, получим

Вектор a можно разложить по векторам

Значит векторы a , i и j компланарны.

б) Запишем равенство

через координаты:

Система не имеет решений, следовательно, b , i и j не компланарны.

в) Запишем равенство

через координаты:

Значит, векторы

компланарны.

г) Векторы

не коллинеарны, т.к. координаты век

тора d не пропорциональны координатам вектора e. Если вектор

можно разложить по векторам d и e , то это значит, что векторы d , e и f компланарны. В противном случае векторы d , e и f не компланарны.

Запишем

в координатах, получим

Система имеет решение: х=1, у=-2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и e , и, следовательно, векторы d , e и f компланарны.

д) Запишем равенство

в координатах:

Система не имеет решений. Поэтому векторы m , n и p не компланарны.

е) Запишем равенство

в координатах:

Система не имеет решений. Поэтому векторы

не компланарны.

Комментарии