249. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

а) Рассмотрим пирамиду РА1А3... Аn и пусть высота пирамиды РО. Заметим, что ΔPOA1 = ΔРОА2 по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум сторонам).

Значит

аналогично

Но это и означает, что точка О — центр описанной окружности. б) Так как ОА1 — проекция стороны РА1, то угол РА1O и есть угол между ребром РА1 и основанием. Но из равенства треугольников:

следует равенство углов между боковыми ребрами и плоскостью основания.

Комментарии