201. Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ.

Решение:

1. Проведем РМ ⊥ α и QN ⊥ α; через середину АВ точку О - проведем отрезки OQ и ОР, соединим точки О и N, О и М.

- по свойству медианы в равнобедренном ΔABQ.

- по свойству медианы в равнобедренном ΔАВР.

по теореме, обратной к теореме

о 3-х перпендикулярах;

по теореме, обратной к теореме

о 3-х перпендикулярах.

В α через т. О к отрезку АВ можно провести единственный перпендикуляр, поэтому точки М, О, N лежат на одной прямой MN.

PM || QN, через них можно провести единственную плоскость MPQN, АВ ⊥ пл. MPQN.

Рассмотрим два случая:

Случай I. PQ || a.

Тогда

и угол между PQ и АВ равен углу меж

ду MN и АВ. А угол между MN и АВ равен 90о.

Случай II. Продолжение PQ пересекает плоскость α.

Тогда MN есть проекция продолженного отрезка PQ на пл. α.

Ответ: 90о.

Комментарии