186. Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.

* В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

Решение. Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую а и параллельную прямой b. Через прямые а и b проведем плоскости β и γ так, чтобы β⊥α и γ⊥α (задача 185). Докажите самостоятельно, что прямая р, по которой пересекаются плоскости β и &gamma, является искомой.

Докажем, что р — единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. Предположим, что существуют две прямые А₁В₁ и А₂В₂, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярные к каждой из них (рис. 65). Прямые А₁В₁ и А₂В₂ перпендикулярны к плоскости α (объясните почему), поэтому они параллельны. Отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а и b лежат в одной плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых.

Альтернативное Решение:

По условию даны скрещивающиеся прямые а и b. Построим прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную к ним.

Проведем через прямую а. α || b. Из произвольных точек А ∈ b, B ∈ b проведем АА₁ ⊥ α и ВВ₁ ⊥ α. Соединим А₁ и В₁ отрезком и найдем точку С₁ пересечения прямых А₁В₁ и а. Через т. С₁ проведем прямую, перпендикулярную α. Эта прямая:

1) пересекается с прямой b в некоторой точке С

(плоскости А₁АВВ₁ и α взаимно перпендикулярны; через

т.С₁ ∈ пл. А₁АВВ₁ проведена прямая, перпендикулярная α. Эта прямая будет лежать в пл. А₁АВВ₁ (Это доказано в задаче 179).

Эта прямая

С₁С пересечет b);

2)

(раз

то

по теореме II

Раз

Прямая С₁С - искомая.

Отрезок С₁С меньше всех других отрезков, которые можно получить, соединяя точки прямой а с точками прямой b. Например, возьмем т. Е ∈ а, т. F ∈ b, проведем отрезок EF и докажем, что EF > C₁C.

Проведем

Тогда

Но

следовательно,

Вывод: С₁С - единственная, т.к. все остальные отрезки длиннее СС₁, поэтому не могут являться общим перпендикуляром к а и b (т.к. это кратчайшее расстояние).

Что и требовалось доказать.