175. Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

* В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

Решение:

Построим SO ⊥ пл. АВС.

SA, SB, SC - наклонные, а равные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВС АО = R, R - радиус описанной окружности.

ΔАВС - правильный; продолжим АО, СО и ВО до пересечения их со сторонами треугольника.

(из свойств правильного треугольника).

Соединим точки S и В, А₁ и S, С₁ и S.

∠SB₁O - линейный угол двугранного угла SAСВ. ∠SC₁O - линейный угол двугранного угла SABC.

∠SA₁O - линейный угол двугранного угла SBCA (по определению).

- по двум катетам

r - радиус вписанной окружности в ΔАВС, SO - общий катет),

(из равенства треугольников).

Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов.

Поэтому все двугранные углы равны.

Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, ∠SA₁O двугранного угла SBCA.

Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем

φ - острый угол.

Отсюда:

Ответ: