87. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АА1, AD1 б) СС1, AD, ВВ1.

87. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ₁, АА₁, AD₁ б) СС₁, AD, ВВ₁.

а)

Построение

1. Допустим, что MN не параллельна АВ.

2. Продолжим MN и АВ до пересечения их в т. О.

3. ОК ⊂ пл. АВС (т.к. О ∈ АВС и K ∈ АВС).

4. Соединим точки K и N.

5. Плоскости ONK и ОАK (то есть пл. АВС) пересекаются по прямой OK.

6. Поэтому продолжим OK до пересечения с DC в т. L. Соединим точки K и L - ведь они лежат в одной плоскости.

7. Противоположные грани АА₁В₁В и DD₁C₁C секущая плоскость пересечет по параллельным прямым (по теореме II), поэтому в плоскости DD₁C₁C проведем LP || NM.

8. Соединим т. Р и т. М.

9. MNKLP - искомое сечение.

б)

Построение

1. Соединим т. K с т. М.

2. Точка N ∈ грани AA₁D₁D и секущей плоскости.

3. Секущая плоскость, проходя через т. N, пересечет параллельные грани AA₁D₁D и ВВ₁С₁С по параллельным прямым; поэтому в пл. AA₁D₁D проводим NP || KM.

4. Проводим РМ.

5. Секущая плоскость проходит через т. K и пересекает противоположные грани АА₁В₁В и DD₁C₁C по параллельным прямым; поэтому в пл. грани АА₁В₁В проводим KL || MP.

6. Соединим т. L и т. N.

7. KLNPM - искомое сечение.