№ 7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 9 класс к учебнику «Геометрия. 7-9 класс» А.В.Погорелов Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №7
к главе «§13. Многоугольники».

Все задачи >


Докажем, что у прямой и ломаной найдется хотя бы одна общая точка.

Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости а1 и а2, в которых лежат концы А1; и Аn ломаной А1А2,...Ап. Докажем, что у прямой а и ломаной найдется хотя бы одна общая точка. Допустим, что А1а1, Аnа2. Каждая из вершин А2А3...Аn-1 принадлежит одной из полуплоскостей или прямой а. Если А2 ∈ а2, то отрезок А1А2, пересекает прямую а, если А2 ∈ а, то А2 является общей точкой прямой и ломаной. Если А2 ∈ а1 то рассмотрим вершину А3 и т.д. То есть если А3 ∈ а2, то отрезок А2А3 пересечет прямую а, если А3 ∈ а, то А3 является общей точкой прямой и ломаной. Если А3 ∈ а1, перейдем к рассмотрению вершины А4 и т.д. Допустим, что среди вершин А1,A2,...Аn-1 не найдется ни одной, которая бы лежала в а2 или на прямой а, то в этом случае отрезок Аn-1Аn пересечет прямую а. Что и требовалось доказать.

Наверх