№ 14*. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 7 класс к учебнику «Геометрия. 7-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №14
к главе «§ 5. Геометрические построения».

Все задачи >

1) Докажем, что АВ ⊥ ОО1.

В ΔОАО1 и ΔОВО1:

ОА = ОВ (как радиусы),

О1А = О1В (как радиусы),

ОО1 — общая.

Таким образом, ΔОАО1 = ΔОВО1 по 3-му признаку равенства треугольников, откуда ∠AOK = ∠KOB, ∠AO1K = ∠BO1K.

В ΔАОВ:

ОА = ОВ, следовательно, ΔАОВ — равнобедренный, ∠AOK = ∠KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к. ΔАОВ — равнобедренный, то есть OK ⊥ АВ.

Таким образом, АВ ⊥ ОО1.

2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.

Допустим, что две окружности с центрами О и О1 пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ⊥ ОО1, АВ ⊥ ОО1, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО1.

Таким образом, мы пришли к противоречию.

Наверх