№ 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 7 класс к учебнику «Геометрия. 7-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №7
к главе «§ 3. Признаки равенства треугольников».

Все задачи >

Сделаем дополнительные построения:

Продолжим AD до точки K, так, что DK = AD. Продолжим A1D1 до точки K1, так, что D1K1 = A1D1. В ΔADC и ΔDBK: AD = DK

∠ADC = ∠BDK (как вертикальные) BD = DC (т.к. AD — медиана)

Таким образом, ΔADC = ΔDBK по 1-му признаку, и ∠DAC = ∠DKB АС = BK.

Аналогично ΔA1D1C1 = ΔD1B1K1 и ∠D1A1C1 = ∠D1K1B1 А1С1 = B1K1. В ΔAВK и ΔA1B1K1:

AK = A1K1 (т.к. AK = 2AD = 2AD = A1K1) ∠BAK = ∠B1A1K1 (по условию)

∠BKA = ∠B1K1A1 (т.к. ∠BKA = ∠KAC = ∠K1A1C1 = ∠B1K1A1), (∠KAC = ∠K1A1C1 по условию)

Таким образом, ΔABK = ΔA1B1K1 по 2-му признаку равенства треугольников, и АВ = А1В1, и BK = B1K1 = А1С1 = АС. Т.к. в ΔАВС и ΔА1В1С1 ВА = В1А1 АС = А1С1

∠ВAС = ∠В1A1С1, то ΔАВС = ΔA1В1С1. A1B1K1 по 1-му признаку равенства треугольников.

Наверх