51. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №51
к главе «§21.Тела вращения».

Все задачи >

Проведем высоту SO пирамиды, и SH⊥AC. Так как ΔASC равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой. Так что, если AS= X то

В равностороннем ΔАВС радиус описанной окружности равен

В прямоугольном ΔASO по теореме Пифагора:

Рассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку А. ∠SAD=90° — как вписанный угол, опирающийся на диаметр SD. Так как в прямоугольном треугольнике катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, то

в ΔASD:

так что

Поэтому высота пирамиды равна:

Наверх