50. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №50
к главе «§21.Тела вращения».

Все задачи >

Проведем в пирамиде высоту SO и SH⊥DC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OH⊥DC. Тогда, так как ΔSDС равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой. Так что

Далее в ΔSHO:

Так что

Далее, ∠SBM=90°, так как этот вписанный угол опирается на диаметр SM. Знаем, что катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, так что ВS2=SМ⋅SO, так что

Так как радиус описанного шара

то

Далее, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SOH. OO2=EO2 — радиус вписанного шара. Имеем ΔSHО ~ ΔSO2E:

Так что

или

Так что

Наверх