82. Найдите двугранные углы октаэдра.

Проведем ось SS1, которая перпендикулярна плоскости ABCD. Так как верхняя часть октаэдра — правильная пирамида, то О — центр окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Обозначим ребро октаэдра х. Тогда

Проведем SК и S1K, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем SK⊥DC и S1K⊥DC. Так что ∠SKS1 — линейный угол искомого двугранного угла.

Из правильного ΔSDC:

, а из ΔS1DC:

Далее, из прямоугольного δSOK по теореме Пифагора получаем:

Так что

По теореме косинусов в ΔSKS1:

Так что,

Тогда

Остальные двугранные углы равны найденному.

Комментарии