82. Найдите двугранные углы октаэдра.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №82
к главе «§ 20. Многогранники».

Все задачи >

Проведем ось SS1, которая перпендикулярна плоскости ABCD. Так как верхняя часть октаэдра — правильная пирамида, то О — центр окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Обозначим ребро октаэдра х. Тогда

Проведем SК и S1K, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем SK⊥DC и S1K⊥DC. Так что ∠SKS1 — линейный угол искомого двугранного угла.

Из правильного ΔSDC:

, а из ΔS1DC:

Далее, из прямоугольного δSOK по теореме Пифагора получаем:

Так что

По теореме косинусов в ΔSKS1:

Так что,

Тогда

Остальные двугранные углы равны найденному.

Наверх