14. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 11 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №14
к главе «§ 20. Многогранники».

Все задачи >

Данное сечение проходит через основание АВ и E1D1. Обозначим точку пересечения прямых АВ и DC точка F. Тогда F принадлежит плоскости сечения, а также плоскости CC1D1C. Так что проведем прямую D1F, которая пересечет ребро СС1 в некоторой точке X.

Далее, продолжим прямые ЕК и АВ до их пересечения в точке О. Эта точка принадлежит плоскости сечения, а также грани KK1E1E. Тогда проведем прямую ОЕ1, которая пересечет ребро КК1 в некоторой точке Y.

Шестиугольник ABXD1E1Y — искомое сечение. Найдем его

площадь по формуле

где S — площадь основания призмы, а α — угол, который образует данное сечение с плоскостью основания. Так как ЕА⊥АВ, то и E1A⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах). Так что ∠EAE1= а. Далее, ЕЕ1 = а, и АЕ =а√3 (по теореме косинусов из ΔАЕК). Далее, по теореме Пифагора

так что

Ответ:

Наверх