57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезок А1В1 не пересек

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №57
к главе «§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Все задачи >

Пусть СК1 - искомое расстояние. Тогда

(по теореме Пифагора), так как треугольник К1KС прямоугольный (КК1⊥АВ).

Далее АА1 || КК1 || ВВ1 и лежат в одной плоскости, значит, АА1В1В — трапеция. Но тогда КК1 — средняя линия, так как К1 -середина А1В1.

Так что

Далее по теореме Пифагора в ΔВ1ВС:

в ΔА1АС:

тогда в ΔABC :

(радиус вписанной окружности), то есть

Наверх