50. Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №50
к главе «§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Все задачи >

Пусть А — данная точка. АО — искомое расстояние, то есть AO - перпендикуляр. Наклонные АК = АЕ; ОЕ, ОК — проекции равных наклонных, а значит, ОЕ = ОК.

Далее по теореме о трех перпендикулярах ОЕ и ОК — перпендикулярны к сторонам квадрата. Значит, О — центр вписанной окружности. То есть О - точка пересечения диагоналей.

Тогда, ON = d/2 (по свойству диагоналей квадрата), и по теореме Пифагора в треугольнике OKN:

Далее в треугольнике АОК по теореме Пифагора:

Наверх