31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №31
к главе «§ 16. Параллельность прямых и плоскостей».

Все задачи >

Пусть А — данная точка, ВСDЕ — данный параллелограмм. Рассмотрим плоскости BAC, CAD, DAE, EAB.

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей:

BC||B1C1, CD||C1D1, ED||E1D1, BE||B1E1.

Так что B1C1||BC||ED||E1D1, то есть B1C1||E1D1 и B1E1||BE||CD||C1D1 то есть B1E1||C1D1.

А, значит, B1C1D1E1 — также параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Наверх