№ 29*. Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.

Пусть диагонали АС и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Нужно доказать, что АС + BD больше полупериметра четырехугольника ABCD, но меньше периметра. Применяя неравенство треугольника для

получим:

Сложив почленно неравенства, получим:

Рассмотрев неравенство треугольника для

получим:

2АС + 2BD < 2АВ + 2ВС + 2CD + 2AD, АС + BD < P_ABCD. 1/2 P_ABCD < АС + BD < P_ABCD.

Что и требовалось доказать.

Источник:

Решебник по геометрии за 8 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №29
к главе «§ 7. Теорема Пифагора».

Все задачи

← № 28*. Докажите, что медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.

№ 30. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В. С и D не меньше, чем ОА + ОВ + ОС + OD. →

Комментарии