№ 29*. Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 8 класс к учебнику «Геометрия. 7 - 11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 8 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №29
к главе «§ 7. Теорема Пифагора».

Все задачи >

Пусть диагонали АС и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Нужно доказать, что АС + BD больше полупериметра четырехугольника ABCD, но меньше периметра. Применяя неравенство треугольника для

получим:

Сложив почленно неравенства, получим:

Рассмотрев неравенство треугольника для

получим:

2АС + 2BD < 2АВ + 2ВС + 2CD + 2AD, АС + BD < PABCD. 1/2 PABCD < АС + BD < PABCD.

Что и требовалось доказать.

Наверх