Начните вводить часть условия (например, могут ли, чему равен или найти):
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
- 166. Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости α. Докажите, что ∠ABC — линейный угол дву
- 167. В тетраэдре DABС все ребра равны, точка М— середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB—линейный угол двугранного угла BACD.
- 168. Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
- 169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.
- 170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ = 2 см, ∠ВАС= 150° и двугранный угол ВАСВ1 равен 45°.
- 171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости а, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.
- 172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, АВ = 13 см.
- 173. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.
- 174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, AC = СВ = 5, DB = 5√5.
- 175. Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.
- 176. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если ∠BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4√3.
- 177. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
- 178. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β.
- 179. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости α проведена прямая, перпендикулярная к плоскости β. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости α.
- 180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
- 181. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и MB соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что MC⊥a.
- 182. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры MA и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. а) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником,
- 183. Плоскости α и β пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости γ.
- 184. Общая сторона АВ треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.
- 185. Прямая а не перпендикулярна к плоскости α. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости α.
- 186. Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.
- 187. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39. 7, 9.
- 188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.
- 189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m; б) диагональ куба равна d.
- 190. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы: а) АВВ1С;б) ADD1B; в) А1ВВ1К, где К — середина ребра A1D1.
- 191. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости АВС1 и A1B1D1 перпендикулярны.
- 192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
- 193. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 дано: D1B = d, АС = m, АВ=n. Найдите расстояние между: а) прямой A1C1 и плоскостью ABC; б) плоскостями ABB1 и DCC1; в) прямой DD1 и плоскостью АСС1;
- 194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.
- 195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.
- 196. Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости BB1D1; б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости CDA1.
Комментарии